"Équations de physique mathématique" - cours 2800 frotter. de MSU, formation 15 semaines. (4 mois), Date: 30 novembre 2023.

1. Première rencontre.
Mot d'introduction. Principes de base du travail avec des équations de physique mathématique. Exemples d'équations simples. Classification. Résoudre des équations simples en les réduisant à des équations différentielles ordinaires. Remplacement de variables dans une équation.

2. Équations du premier ordre – linéaires et quasi-linéaires.
Équations linéaires. Trouver un remplacement approprié - compiler et résoudre un système d'équations différentielles ordinaires du premier ordre. Premières intégrales du système. Caractéristiques. Équations quasi-linéaires. Trouver une solution sous une forme implicite.

3. Problème de Cauchy. Classification des équations linéaires du second ordre.
Énoncé du problème de Cauchy. Théorème sur l'existence et l'unicité d'une solution au problème de Cauchy. Classification des équations linéaires du second ordre à coefficients constants. Réduction à la forme canonique.

4. Équations hyperboliques, paraboliques et elliptiques.
Classification des équations linéaires du second ordre à coefficients variables sur le plan. Type hyperbolique, parabolique et elliptique. Résolution d'équations hyperboliques. Problèmes avec les conditions initiales et aux limites.

5. Équation à cordes.
Équation d'onde unidimensionnelle sur tout l'axe. Vague avant et arrière. la formule de d'Alembert. Intégrale de Duhamel. Conditions aux limites pour l'équation sur le demi-axe. Types de base de conditions aux limites. Suite de la solution. Le cas d'un segment fini.

6. Méthode de Fourier utilisant l'équation aux cordes comme exemple.
L'idée de la méthode de Fourier. La première étape consiste à trouver une base. La deuxième étape consiste à obtenir des équations différentielles ordinaires pour les coefficients de Fourier. La troisième étape consiste à prendre en compte les données initiales. Convergence des séries.

7. Équation de diffusion (segment fini).
Dérivation de l'équation. Énoncé des problèmes (conditions initiales et aux limites). Méthode de Fourier. Prise en compte du membre de droite et de l'inhomogénéité des conditions aux limites. Convergence des séries.

8. Équation de diffusion (axe entier).
Transformée de Fourier, formule d'inversion. Résoudre l'équation à l'aide de la transformée de Fourier. Théorème – justification de la méthode (deux cas). La formule de Poisson. Le cas d'une équation avec le côté droit.

9. Fonctions généralisées.
Écrire la formule de Poisson sous forme de convolution. Enregistrement sous forme de convolution de la solution de l'équation de la chaleur sur un segment fini. Classe Schwartz. Exemples de fonctions de la classe. Définition des fonctions généralisées, lien avec les fonctions classiques. Multiplication d'une fonction généralisée par une fonction de base, différenciation. Convergence des fonctions généralisées. Exemples de fonctions génériques.

10. Travailler avec des fonctions génériques.
Résolution d'équations différentielles ordinaires dans des fonctions généralisées. Transformée de Fourier des fonctions généralisées. Convolution. Produit direct. Le porteur d'une fonction généralisée. Résoudre l'équation de la chaleur unidimensionnelle inhomogène à l'aide de la solution fondamentale. Solution fondamentale d'un opérateur différentiel ordinaire sur un intervalle.

11. Solutions fondamentales.
Dérivation de la formule de Poisson pour l'équation de la chaleur multidimensionnelle. Dérivation de la formule de Kirkhoff. Dérivation de la formule de Poisson pour l'équation des ondes. Résoudre des problèmes en utilisant la méthode de séparation des variables, la méthode de superposition.

12. L'équation de Laplace.
Dérivation de l'équation de Laplace. Champ vectoriel – potentiel, écoulement à travers une surface. Potentiel volumétrique. Potentiel de couche simple. Potentiel double couche. Potentiel logarithmique.

13. Problème de Dirichlet, problème de Neumann et fonction de Green.
Fonctions harmoniques. Principe de l'extremum faible. Théorème de Harnack. Principe du maximum strict. Théorème de l'unicité. Théorème de la valeur moyenne. Une douceur sans fin. Théorème de Liouville. La formule de Green. La fonction de Green, ses propriétés. Solution du problème de Poisson avec conditions de Dirichlet en utilisant la fonction de Green. Autres problèmes de valeurs limites. Construction de la fonction de Green par la méthode de réflexion.

14.Méthode de Fourier multidimensionnelle.
Résoudre des problèmes par la méthode de Fourier. Diverses conditions aux limites. Fonctions de Bessel. Polynôme de Legendre. Bilan du cours complété. Résumer.